农民起义军在李自成的领导下能够迅速发展壮大，主要原因可以归纳为以下几个方面：

1. 明末政治腐败与社会矛盾的激化：明朝晚期，政治腐败、官僚贪污成风，土地兼并严重，社会贫富差距悬殊，这些都导致了阶级矛盾和民族矛盾的加剧。人民生活在水深火热之中，迫切需要改变现状。而李自成领导的农民起义军正是顺应了这一潮流，得到了广大民众的支持与拥护。

2. 李自成本人的领导才能与魅力：作为一位杰出的军事领袖，李自成具有卓越的战略眼光和指挥才能。他在战斗中表现英勇，深受部下的爱戴。同时，他关心士兵的生活，注重纪律建设，这使得他的军队战斗力较强，且具有较高的凝聚力。

3. 正确的战略战术选择：李自成及其将领们在战争实践中不断总结经验教训，制定了一系列行之有效的战略战术。他们采取灵活机动的游击战法，避实就虚，出奇制胜，多次击败明军的围剿。此外，他们在占领地区实行较为开明的政策，减轻赋税，赢得民心，从而扩大了自己的势力范围。

4. 天灾人祸的推动作用：明末清初，连年天灾频发，如干旱、饥荒等，给百姓带来了巨大的生存压力。在这种情况下，政府的救灾措施不力，反而加重了对人民的剥削，这进一步激发了人们的反抗情绪。李自成领导的农民起义军适时提出“均田免粮”的口号，吸引了大量流民加入队伍，从而推动了其势力的扩张。

5. 明王朝统治基础的崩溃：经过长期的内部纷争和社会动荡，明王朝的统治基础已经十分薄弱。特别是在崇祯年间，一系列错误的决策加速了政权的瓦解。例如，在与后金（后来的清朝）的对峙中，明廷不仅没有取得优势，还消耗了大量的人力和物力资源；而在镇压国内起义的过程中，由于缺乏统一的调度和有力的支持，各地的明军往往各自为战，无法形成合力。这种情况下，李自成领导的农民起义军得以乘隙发展壮大。

综上所述，农民起义军在李自成的领导下之所以能迅速发展壮大，是多种因素综合作用的结果。既有历史大环境的影响，也有领导者个人的才干和策略的因素，以及广大人民群众对美好生活的向往和对不公平制度的抗争。这些共同构成了这场波澜壮阔的历史运动的动力源泉。