宋朝于1121年10月6日处决方腊叛军首领的历史缘由可以追溯到北宋末年的社会背景和政治环境。这一时期的宋王朝面临着内外多重危机，包括日益恶化的经济状况、频繁的自然灾害以及边境外的军事威胁。这些因素共同导致了社会的不稳定和民生的艰难。

方腊起义正是在这样的背景下爆发的。方腊是浙江金华人，他利用宗教信仰的组织力量，迅速聚集了一支庞大的农民军队，这支队伍被称为“摩尼教”或“明教”。他们打着宗教的旗号，实际上是对当时腐败的社会制度和朝廷统治不满的表现。

方腊领导的叛乱得到了广泛的支持，尤其是在江浙一带。他的部队在短短几个月内就控制了多个州县，对宋朝的地方政权构成了严重威胁。为了平息这场叛乱，宋徽宗不得不调集重兵进行镇压。经过一番激烈的战斗，最终在1121年初，宋军击败了方腊的主力部队，并在同年10月6日俘虏了方腊本人及其主要将领。

对于宋朝来说，处决方腊叛军首领是为了维护其统治权威和社会秩序的必要手段。通过公开处决这些叛乱的领导者，宋朝向全国人民传递了一个明确的信号：任何企图颠覆国家政权的行动都将受到严厉的惩罚。这有助于恢复社会的稳定和对朝廷的忠诚，同时也为后来的统治者提供了一个警示性的案例。

总的来说，宋朝在1121年10月6日处决方腊叛军首领的历史缘由在于巩固统治基础、维护社会安定以及对潜在的反抗势力起到震慑作用。这一事件是中国历史上重要的转折点之一，它不仅影响了当时的政治格局，也对后世的治理思想产生了深远的影响。