作为一位精通中国历史的资深历史学者，我将详细解释祖冲之是如何在公元5世纪末到6世纪初精确求得圆周率的近似值的。祖冲之是中国南北朝时期的一位杰出的数学家、天文学家和机械师，他在多个领域都有重要贡献，尤其以对圆周率的精确计算最为著名。

首先，我们需要了解一些背景知识。圆周率（π）是圆的周长与直径的比值，是一个无限不循环小数。在祖冲之之前，人们对圆周率的计算并不准确，通常采用的是古希腊数学家阿基米德的方法，他通过几何方法证明了圆周率介于22/7（约3.1429）和223/71（约3.1408）之间。这个近似的数值在当时已经非常先进了，但祖冲之的目标是得到更加准确的数字。

祖冲之采用了刘徽提出的“割圆术”来计算圆周率。这种方法是通过逐渐分割圆周，利用多边形逼近圆周来推算圆周率的方法。具体来说，祖冲之使用了两个分数来表示圆周率的近似值，分别是：

3.1415926 < π < 3.1415927

这两个分数分别为：

(3 + 10/7) × (7 + 10/7) = 3.1428571429 (24/7) × (48/29) = 3.1415926535

祖冲之进一步改进了这个方法，使用更小的分数来提高精度。他最终得到的两个分数如下：

(3 + 7/100) × (24/11) = 3.1415926535 (125/41) × (153/59) = 3.1415926535

通过对这些分数进行反复运算和优化，祖冲之得到了圆周率的两个近似值：

第一个近似值为：3.1415926（相当于现在的十进制小数点后六位有效数字）； 第二个近似值为：3.142856（相当于现在的十进制小数点后六位有效数字）。

值得注意的是，祖冲之不仅给出了这两个近似值，还证明了他的方法是有效的，并且能够产生越来越高的精度。他的工作对于推动数学的发展具有重要意义，直到15世纪左右，阿拉伯数学家阿尔·卡西才再次取得了类似的成就。

总结一下，祖冲之通过“割圆术”并结合巧妙的代数技巧，成功地计算出了圆周率的小数点后七位有效数字，这是一个巨大的成就，远远领先于同时代的西方数学家。他的这一成果在中国历史上被称为“祖率”，是对中国古代数学的重要贡献之一，也是世界数学史上的宝贵财富。